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📚 न्यूटन के गति के तीनों नियम – Quick Revision

1. न्यूटन का प्रथम गति नियम (First Law of Motion)

- इसे जड़त्व का नियम (Law of Inertia) कहते हैं।
- कोई वस्तु विराम अवस्था में है तो विराम में रहेगी तथा गतिशील है तो नियत वेग से सीधी रेखा में चलती रहेगी, जब तक उस पर कोई परिणामी बाहरी बल कार्य न करे।
- यदि F_net = 0, तो a = 0।
- वस्तु का वेग नियत रहता है।

2. न्यूटन का द्वितीय गति नियम (Second Law of Motion)

- किसी वस्तु के संवेग परिवर्तन की दर उस पर लगने वाले परिणामी बल के समानुपाती होती है।
- बल की दिशा संवेग परिवर्तन की दिशा में होती है।
- गणितीय सूत्र:

F = dp/dt

- स्थिर द्रव्यमान के लिए:

F = ma

- संवेग का सूत्र:

p = mv

3. न्यूटन का तृतीय गति नियम (Third Law of Motion)

- प्रत्येक क्रिया के बराबर तथा विपरीत दिशा में प्रतिक्रिया होती है।
- क्रिया और प्रतिक्रिया बल एक ही समय पर उत्पन्न होते हैं।
- ये दोनों बल अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं।
- सूत्र:

F_AB = −F_BA

4. आवेग (Impulse)

- बल और उसके कार्य करने के समय के गुणनफल को आवेग कहते हैं, जब बल स्थिर हो।
- सूत्र:

J = F × Δt

- आवेग संवेग परिवर्तन के बराबर होता है:

J = Δp

- मात्रक: N·s

5. महत्वपूर्ण मात्रक एवं मान

- बल का SI मात्रक = न्यूटन (N)
- संवेग का SI मात्रक = kg·m/s
- त्वरण का SI मात्रक = m/s²
- आवेग का SI मात्रक = N·s
- 1 N = 10⁵ Dyne
- 1 kgf ≈ 9.8 N

6. महत्वपूर्ण तथ्य

- प्रथम नियम जड़त्व की अवधारणा स्पष्ट करता है।
- द्वितीय नियम बल का मात्रात्मक मापन बताता है।
- तृतीय नियम क्रिया और प्रतिक्रिया के संबंध को स्पष्ट करता है।
- रॉकेट का उड़ना न्यूटन के तृतीय नियम का एक प्रमुख उदाहरण है।
- जड़त्व वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है।

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1 day ago | [YT] | 3

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📚 चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) – Quick Revision

1. जब ब्याज की गणना मूलधन के साथ पहले से अर्जित ब्याज को जोड़कर की जाती है, तो इसे चक्रवृद्धि ब्याज कहते हैं।

2. चक्रवृद्धि ब्याज में ब्याज पर भी ब्याज लगता है।

3. मूलधन (Principal) को P से प्रदर्शित करते हैं।

4. ब्याज दर (Rate of Interest) को R से प्रदर्शित करते हैं।

5. समय (Time) को T से प्रदर्शित करते हैं।

6. मिश्रधन (Amount) को A से प्रदर्शित करते हैं।

7. मिश्रधन = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज।

8. A = P + CI

9. वार्षिक संयोजन में मिश्रधन का सूत्र:

A = P × (1 + R/100)ᵀ

10. चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र:

CI = A − P

11. चक्रवृद्धि ब्याज का दूसरा सूत्र:

CI = P × [(1 + R/100)ᵀ − 1]

12. छमाही संयोजन में ब्याज दर आधी तथा संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

13. छमाही संयोजन का सूत्र:

A = P × [1 + R/(2 × 100)]²ᵀ

14. तिमाही संयोजन में ब्याज दर चौथाई तथा संयोजन अवधियों की संख्या चार गुना हो जाती है।

15. तिमाही संयोजन का सूत्र:

A = P × [1 + R/(4 × 100)]⁴ᵀ

16. चक्रवृद्धि ब्याज में प्रत्येक अवधि के बाद प्राप्त मिश्रधन अगली अवधि का नया आधार बन जाता है।

17. समान मूलधन, दर और समय के लिए वार्षिक संयोजन की तुलना में अधिक बार संयोजन होने पर मिश्रधन अधिक होता है।

18. चक्रवृद्धि ब्याज का उपयोग बैंकिंग, निवेश, ऋण तथा धन-वृद्धि की गणना में किया जाता है।

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1 day ago | [YT] | 2

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साधारण ब्याज (Simple Interest) – Quick Revision

1. साधारण ब्याज की परिभाषा:

किसी मूलधन पर निश्चित समय के लिए एक निश्चित वार्षिक दर से प्राप्त ब्याज को साधारण ब्याज कहते हैं।

2. साधारण ब्याज का सूत्र:

SI = (P × R × T)/100

3. मिश्रधन (Amount):

A = P + SI

4. मूलधन (Principal):

P = (SI × 100)/(R × T)

5. ब्याज की दर (Rate):

R = (SI × 100)/(P × T)

6. समय (Time):

T = (SI × 100)/(P × R)

7. संकेतों का अर्थ:

P = Principal (मूलधन)

R = Rate (वार्षिक ब्याज दर)

T = Time (समय वर्षों में)

SI = Simple Interest (साधारण ब्याज)

A = Amount (मिश्रधन)

8. समय परिवर्तन:

महीनों को वर्षों में बदलने के लिए:

T = महीनों की संख्या/12

उदाहरण:

6 महीने = 6/12 = 1/2 वर्ष

9 महीने = 9/12 = 3/4 वर्ष

9. महत्वपूर्ण अंतर:

साधारण ब्याज में ब्याज केवल मूलधन पर लगता है।

चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) में ब्याज पर भी ब्याज लगता है।

याद रखने की ट्रिक:

मूलधन × दर × समय को 100 से भाग देने पर साधारण ब्याज प्राप्त होता है।

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1 week ago | [YT] | 3

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3D GEOMETRY – QUICK REVISION NOTES

1. Direction Cosines एवं Direction Ratios

यदि DR's = (a, b, c), तो:

l = a/√(a²+b²+c²)

m = b/√(a²+b²+c²)

n = c/√(a²+b²+c²)

महत्वपूर्ण सर्वसमिका:

l² + m² + n² = 1

2. Equation of Line

Vector Form:

r̄ = ā + λb̄

Cartesian Form:

(x-x₁)/a = (y-y₁)/b = (z-z₁)/c

3. Angle Between Two Lines

cos θ = |a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂| / [√(a₁²+b₁²+c₁²) × √(a₂²+b₂²+c₂²)]

Perpendicular Condition:

a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂ = 0

Parallel Condition:

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

4. Shortest Distance Between Skew Lines

यदि:

r̄ = ā₁ + λb̄₁

r̄ = ā₂ + μb̄₂

तब:

d = |(ā₂-ā₁)·(b̄₁×b̄₂)| / |b̄₁×b̄₂|

यहाँ b̄₁×b̄₂ शून्य सदिश नहीं होना चाहिए।

5. Distance Between Parallel Lines

d = |b̄×(ā₂-ā₁)| / |b̄|

परीक्षा के लिए विशेष सावधानियाँ:

• Direction Cosines के वर्गों का योग हमेशा 1 होता है।

• Angle Between Lines के सूत्र में मॉड्यूलस लगाने पर न्यून कोण मिलता है।

• Skew Lines आपस में न तो समांतर होती हैं और न ही प्रतिच्छेद करती हैं।

• Shortest Distance के सूत्र में दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों का Cross Product शून्य नहीं होना चाहिए।

• यदि किसी Cartesian Equation में कोई Direction Ratio शून्य हो, तो संबंधित निर्देशांक नियत लिखा जाता है।

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1 week ago | [YT] | 3

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त्वरण (Acceleration) – Quick Revision

1. परिभाषा:

वेग में परिवर्तन की समय दर को त्वरण कहते हैं।

2. औसत त्वरण का सूत्र:

a = (v-u)/t

3. संकेत:

u = प्रारंभिक वेग (Initial Velocity)

v = अंतिम वेग (Final Velocity)

t = समयांतराल (Time Interval)

4. त्वरण के प्रकार:

• धनात्मक त्वरण (Positive Acceleration): चुनी गई धनात्मक दिशा में त्वरण।

• ऋणात्मक त्वरण (Negative Acceleration): चुनी गई धनात्मक दिशा के विपरीत त्वरण।

• मंदन (Retardation): जब त्वरण के कारण वस्तु की चाल घटती है।

5. सदिश प्रकृति:

त्वरण एक सदिश राशि (Vector Quantity) है।

6. SI मात्रक:

मीटर प्रति सेकंड² (m/s²)

7. विमीय सूत्र:

[M⁰ L¹ T⁻²]

8. गति का दूसरा समीकरण:

s = ut + (1/2)at²

महत्त्वपूर्ण बात: ऋणात्मक त्वरण हमेशा मंदन नहीं होता। वस्तु की चाल घट रही है या बढ़ रही है, यह वेग और त्वरण की दिशाओं पर निर्भर करता है।

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1 week ago | [YT] | 3

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त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality) – Quick Revision

1. किसी भी त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

2. यदि P कोई बिंदु है, तो त्रिभुज PAB में:

PA + PB > AB

3. इसी प्रकार:

PB + PC > BC

PC + PA > CA

4. तीनों असमिकाओं को जोड़ने पर:

2(PA + PB + PC) > AB + BC + CA

अतः,

(PA + PB + PC)/(AB + BC + CA) > 1/2

5. यदि P त्रिभुज ABC के आंतरिक भाग में है, तो:

PA + PB < AC + BC

PB + PC < AB + AC

PC + PA < AB + BC

इन तीनों को जोड़ने पर:

2(PA + PB + PC) < 2(AB + BC + CA)

अतः,

(PA + PB + PC)/(AB + BC + CA) < 1

अंतिम परिणाम:

1/2 < (PA + PB + PC)/(AB + BC + CA) < 1

याद रखें: यहाँ दोनों असमिकाएँ सख्त हैं क्योंकि P त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है, उसके शीर्ष या सीमा पर नहीं।

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1 week ago | [YT] | 2

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📐 गणित ज्ञान | द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) 📚

🎯 आज का महत्वपूर्ण प्रश्न:
व्यंजक (1 + x)⁸ के प्रसार में x⁵ का गुणांक ज्ञात करना।

✨ हल करने का सरल तरीका:
1️⃣ द्विपद प्रमेय के मानक प्रसार सूत्र का प्रयोग करें:
(1 + x)ⁿ = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x² + ... + C(n,n)xⁿ
2️⃣ सामान्य पद (General Term) का सूत्र लागू करें:
T(r+1) = C(n, r) xʳ
3️⃣ यहाँ n = 8 तथा r = 5 रखने पर:
x⁵ का गुणांक = C(8, 5)
4️⃣ संचय सूत्र (Combinations formula) से हल करें:
C(8, 5) = 8! / [5! × 3!]
= (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1)
= 56

✅ अंतिम उत्तर: x⁵ का गुणांक = 56

गणित के ऐसे ही महत्वपूर्ण प्रश्नों और आसान हलों के नियमित अभ्यास के लिए इसे सेव करें और अपने सहपाठियों के साथ साझा करें! 💡

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1 week ago | [YT] | 3

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📘 QUICK REVISION: निश्चित समाकलन (Definite Integration)

1. निश्चित समाकलन:

∫ₐᵇ f(x) dx

यहाँ a निचली सीमा तथा b ऊपरी सीमा है।

2. सीमाओं का परिवर्तन:

यदि x = g(t), तो नई सीमाएँ पुराने x के मानों में t के संगत मान रखकर प्राप्त की जाती हैं।

3. King's Property:

∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx

विशेष रूप से:

∫₀^π f(x) dx = ∫₀^π f(π − x) dx

4. सममित फलन का उपयोग:

यदि किसी समाकलन में f(x) और f(a−x) को जोड़ने पर सरल व्यंजक प्राप्त होता है, तो दोनों रूपों को जोड़कर हल करना उपयोगी होता है।

5. महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ:

1 + tan²θ = sec²θ

tan(π/4 − θ) = (1 − tanθ)/(1 + tanθ)

6. लघुगणक के गुणधर्म:

ln(a/b) = ln a − ln b

ln(ab) = ln a + ln b

7. याद रखने योग्य बात:

निश्चित समाकलन में प्रतिस्थापन करते समय सीमाओं को बदलना न भूलें।

King's Property का उपयोग करके कई कठिन दिखने वाले समाकलनों को सरल बनाया जा सकता है।

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1 week ago | [YT] | 2

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प्रश्न (Important Question):

निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:

I = ∫₀^π x sin x / (1 + cos²x) dx

हल:

दिया गया है:

I = ∫₀^π [x sin x / (1 + cos²x)] dx

निश्चित समाकलन के गुणधर्म से:

∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx

अतः

I = ∫₀^π [(π − x) sin(π − x) / {1 + cos²(π − x)}] dx

हम जानते हैं:

sin(π − x) = sin x

cos(π − x) = −cos x

इसलिए cos²(π − x) = cos²x

अतः

I = ∫₀^π [(π − x) sin x / (1 + cos²x)] dx

अब दोनों समीकरण जोड़ने पर:

2I = ∫₀^π [x sin x / (1 + cos²x)] dx

+ ∫₀^π [(π − x) sin x / (1 + cos²x)] dx

2I = ∫₀^π [π sin x / (1 + cos²x)] dx

2I = π ∫₀^π [sin x / (1 + cos²x)] dx

अब प्रतिस्थापन करें:

t = cos x

dt = −sin x dx

सीमाएँ:

x = 0 ⇒ t = 1

x = π ⇒ t = −1

अतः

2I = π ∫₋₁¹ [1 / (1 + t²)] dt

2I = π [tan⁻¹t]₋₁¹

2I = π [π/4 − (−π/4)]

2I = π × π/2

2I = π²/2

अतः

अंतिम उत्तर:

I = π²/4

उत्तर = π²/4

1 week ago | [YT] | 3

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📘 QUICK REVISION: चाल एवं वेग (Speed and Velocity)

1. चाल (Speed):

किसी वस्तु द्वारा एकांक समय में तय की गई दूरी को चाल कहते हैं।

सूत्र:

औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय

- चाल एक अदिश राशि है।
- चाल सदैव धनात्मक या शून्य होती है।
- SI मात्रक = m/s

2. वेग (Velocity):

एकांक समय में हुए विस्थापन को वेग कहते हैं।

सूत्र:

औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समयांतराल

- वेग एक सदिश राशि है।
- वेग धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
- SI मात्रक = m/s

3. विमीय सूत्र:

चाल एवं वेग दोनों का विमीय सूत्र:

[M⁰L¹T⁻¹] या [LT⁻¹]

4. चाल एवं वेग में मुख्य अंतर:

चाल दूरी पर निर्भर करती है, जबकि वेग विस्थापन पर निर्भर करता है।

5. महत्वपूर्ण संबंध:

औसत चाल ≥ |औसत वेग|

याद रखें:

यदि कोई वस्तु प्रारंभिक स्थिति पर वापस आ जाती है, तो उसका कुल विस्थापन शून्य होगा। इसलिए उसका औसत वेग भी शून्य होगा, लेकिन औसत चाल शून्य होना आवश्यक नहीं है।

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1 week ago | [YT] | 3